겔폰드-슈나이더 정리

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 6월 26일 (금) 13:43 판
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겔폰드-슈나이더 정리

겔폰드-슈나이더 (1934)

\(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}\) 는 초월수이다.

 

 

Comments

  • In general, \(\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}\) is multivalued, where "log" stands for the complex logarithm. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
  • An equivalent formulation of the theorem is the following: if\(\alpha\) and \(\gamma\) are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of \(\alpha\), then\((\log \gamma)/(\log \alpha)\) is either rational or transcendental.
  • If the restriction that \(\beta\) be algebraic is removed, the statement does not remain true in general (choose \(\alpha=3\) and \(\beta=\log 2/\log 3\), which is transcendental, then \(\alpha^{\beta}=2\) is algebraic). A characterization of the values for \(\alpha\) and \(\beta\) which yield a transcendental \(\alpha^{\beta}\) is not known.

 

(wikipedia 의 Gelfond–Schneider theorem 페이지에서)

 

 

겔폰드 상수
  • \(e^\pi\) 를 겔폰드 상수라 함
  • \(e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{i}\)
  • 겔폰드 슈나이더 정리를 적용하면, 초월수임이 증명.

 

겔폰드-슈나이더 상수
  • \(2^{\sqrt2}\)
  • 겔폰드 슈나이더 정리를 적용하면, 초월수임이 증명.

 

 

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