슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

개요

복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
다음 조건을 가정
- 실수축 위에 있는 \(\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}\)가 n각형의 꼭지점으로 보내지고
- n각형의 내각이 \(\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}\)이고 외각이 \(\{\lambda_k \pi| k=1,\cdots, n\}\) 인 경우 (즉 \(\alpha_k+\mu_k=1\), \(\sum_{k=1}^n \mu_k=2\))
위의 같은 조건하에서, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐\[f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\]
\(a_n=\infty\) 인 경우, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐\[f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\]

슈바르츠-크리스토펠 사상이 만족해야 하는 미분방정식\[\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}\]
\({f''(z)}/{f'(z)}\) 는 연산자로서 \(f\mapsto \alpha f+\beta\) 에 의해 불변이다
슈바르츠 미분(Schwarzian derivative) 과의 유사성

\[z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}= e^{\alpha (\ln |z|+i\arg z)} =\exp(\ln |z|^{\alpha}+\alpha i \arg z)\]

이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
\(z\) 가 실수라고 하자.
- \(z>0\) 이면 \(\arg z =0\)
- \(z<0\) 이면 \(\arg z =\pi\)
상반평면이 \(z^{\alpha}\) 에 의해 각도가 \(\alpha \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, \(z<0\) 의 이미지에서 \(z>0\) 의 이미지로 갈 때, 시계방향으로 \((1-\alpha) \pi\) 만큼 회전하게 된다

다음 슈바르츠-크리스토펠 사상은 상반평면을, 세 내각이 \(\pi/4,\pi/4,\pi/2\) 인 직각이등변 삼각형으로 보낸다\[f(z)=\int_0^z \left(\zeta-1\right)^{-3/4}\left(\zeta+1\right)^{-3/4}\, d\zeta\]

다음과 같은 형태로 주어지는 타원적분 을 생각하자\[f(z)=\int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{(\zeta+1)\zeta(\zeta-1)}}\]
이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 갖는지 알기 위해 국소적으로 보자면,
- \(z=-1\) 근방에서 \(f(z)-f(-1) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
- \(z=0\) 근방에서 \(f(z)-f(0) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
- \(z=1\) 근방에서 \(f(z)-f(1) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)
- \(z=\infty\) 근방, 즉 \(w=1/z \approx 0\) 일 때 \(f(1/w)-f(\infty) \approx w^{\frac{1}{2}}\)
슈바르츠-크리스토펠 사상의 관점에서 보면, 타원적분은 복소상반평면을 직각사각형으로 보낸다
따라서 역함수의 해석적 확장을 생각하면 이중주기의 타원함수 가 얻어지게 된다

복소해석학의 리만 사상 정리 Riemann mapping theorem 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.

단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings)은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\[f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta\]