Test234

개요

• j-불변량
  • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
• 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
• 복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
• 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장

정의

• \(q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}\)라 두자
• 타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다

\[ j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \] 여기서 \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

• 다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 \(g_2,g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조

singular moduli

• quadratic imaginary number 에서의 값
• 예 :

\[j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]

• 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli 참조
• 판별식이 -23인 세 이차형식 (숫자 23과 다항식 x³-x+1 참조)

\[ x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3 \] 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자 \[ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)\]

• 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다

\[ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 \]