다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 9일 (화) 14:35 판
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개요
  • 로저스 dilogarithm \(L(x)\)
  • dilogarithm 항등식
    대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식
    \(\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\)
  • Polylogarithm ladders 으로 불리기도 한다

 

 

오일러

 

\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(-2L(-1)=L(1)\)

\(2L(\frac{1}{2})=L(1)\)

 

 

란덴

 

\(5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\)

\(5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\)

 

 

콕세터(1935) & Lewin 

\(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\) 는 황금비

\(L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}\)

\(L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)+\frac{7\pi^2}{10}\)

\(L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{\pi^2}{5}\)

[Lewin] \(L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{\pi^2}{30}\)

 

 

왓슨 

\(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\(L(\alpha)-L(\alpha^2)=1/7L(1)\)

\(L(\beta)+1/2L(\beta^2) = 5/7L(1)\)

\(L(\gamma)+1/2L(\gamma^2) = 4/7L(1)\)

 

 

Loxton & Lewin

 

\(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.

\(L(x^3)-3L(x^2)-3L(x)=-\frac{7}{3}L(1)\)

\(L(y^6)-2L(y^3)-9L(y^2)+6L(y)=-\frac{2}{3}L(1)\)

\(L(z^6)-2L(z^3)-9L(z^2)+6L(z)=\frac{2}{3}L(1)\)

 

 

Lewin

\(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)

\(L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\)

 

 

Browkin

 

\(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\), \(z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)

\(L(x^6)-6L(x^3)+L(x^2)+18L(x)=8L(1)\)

\(L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\)

 

 

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