다항식의 판별식(discriminant)

개요

n차 다항식의 근을 \(x_1,\cdots, x_n\) 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다 \[\left(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)\right)^2\]
교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, 근과 계수와의 관계를 이용하여 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
반데몬드 행렬식 의 제곱과 같다

2차식의 판별식

이차식 \(x^2+bx+c\)
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.

근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,

이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.

3차식의 판별식

다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.
\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\)
근과 계수와의 관계 에 따라
\(x_1+x_2+x_3=0\)
\(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\)
\(x_1 x_2 x_3=-b\)
근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\)
\(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\)
\(x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\)
위의 행렬은
\(\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다

다항식의 판별식(discriminant)

목차

개요

2차식의 판별식

3차식의 판별식

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