로그 적분(logarithmic integral)

\(\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx\)

다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조)
(정리 ) 리우빌, 1835
\(f(x), g(x)\) 는 유리함수이면, (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.
(i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다.
(ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.
로그적분에의 적용
\(\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\), \(t=\log x\)
리우빌의 정리에 의하여,
\(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족싴

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