르장드르 부호와 자코비 부호
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개요
- 이차잉여의 상호법칙 을 기술하기 위한 필요에서 탄생, 정수론에서 중요한 역할
- 정수 a와 홀수인 소수 p 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\) - 자코비 부호는 르장드르 부호의 일반화이다
- 정수 a와 양수인 홀수 n 에 대하여, 자코비 부호를 다음과 같이 정의한다
\(\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}\mbox{ where } n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\) - 자코비 부호 \(\chi(a)=(\tfrac{a}{n})\) 는 모듈로 n 에 대한 디리클레 캐릭터 가 된다
이차잉여
\(\left(\tfrac{a}{n}\right)=-1\) 이면 a는 모듈로 n에 대한 비이차잉여 이다
a가 모듈로 n에 대한 이차잉여 이면 \(\left(\tfrac{a}{n}\right)=1\) 이 성립한다
- 주의
\(\left(\tfrac{2}{15}\right)=1\) 이지만 2는 모듈로 15에 대한 이차잉여 가 아니다
역사
메모
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매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol
- http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_symbol
- http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity#Jacobi_symbol
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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