반데몬드 행렬과 행렬식

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 10월 21일 (일) 15:17 판
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개요

  • 다음과 같은 행렬을 반데몬드 행렬이라 한다 \[\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\\end{bmatrix}\]
  • 행렬식은 다음과 같이 주어진다 \[\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)\]
  • 행렬식은 교대다항식(alternating polynomial)이다


분할을 통한 일반화

  • 교대다항식(alternating polynomial)에서 가져옴
  • 자연수의 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여 행렬 $(x_j^{\lambda _i+n-i})$ 의 행렬식은 교대다항식이다.
  • $n=3$ 의 경우 $$\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)$$
  • $n=4$의 경우 $$\left( \begin{array}{cccc} x_1^{\lambda _1+3} & x_2^{\lambda _1+3} & x_3^{\lambda _1+3} & x_4^{\lambda _1+3} \\ x_1^{\lambda _2+2} & x_2^{\lambda _2+2} & x_3^{\lambda _2+2} & x_4^{\lambda _2+2} \\ x_1^{\lambda _3+1} & x_2^{\lambda _3+1} & x_3^{\lambda _3+1} & x_4^{\lambda _3+1} \\ x_1^{\lambda _4} & x_2^{\lambda _4} & x_3^{\lambda _4} & x_4^{\lambda _4} \end{array} \right)$$


역사



메모

관련된 항목들



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