베르누이 다항식
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개요==
- 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의
\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)
- 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
\(B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\)
여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수
베르누이수와 베르누이 다항식==
- \(B_n(0)=B_n\)
예==
- 처음 몇 베르누이 다항식
\(B_0(x)=1\)
\(B_1(x)=x-1/2\)
\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)
\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)
\(B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\)
\(B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\\)
\(B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\)
베르누이 다항식 \(B_k (x) \) 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
\(\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)\)
곱셈공식
\(B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\)
L-함수와의 관계
- 디리클레 L-함수
\(n\geq 1\) 일 때,
\(L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\)
재미있는 사실==
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