분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 9일 (수) 09:55 판
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개요

 

  • 분할수의 근사공식
    \(p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\)
    여기서 \(A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}\)이고 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

첫번째 항의 크기

\(K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}\) 로 두자

\(A_1(n)=1\)

\(\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \approx \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}\)

 

 

 

 

\(p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\)의 유도

 

 

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