분할수의 생성함수(오일러 함수)
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개요
- 분할수의 생섬함수를 오일러함수라고도 한다
- 분할수의 생성함수는 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
오일러의 오각수정리
- 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
\(\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\)
\((1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\)
- 위의 급수는 오일러함수의 역이다
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
데데킨트 에타함수
재미있는 사실
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- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
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- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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