사각 피라미드 퍼즐

간단한 소개

• 공을 다음 그림처럼 피라미드 모양으로 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 되는가?

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• 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
  \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  
• 답은 두 쌍이 존재.
  (n,m)=(1,1) or (24,70)
  
• Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
• 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
  \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)
  

 

정수계수 타원곡선으로의 변형

\(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\)

를 사용하면,

\(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.

\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 주게 되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 찾으면 된다.

• congruent number 문제(참고로 6은 congruent number)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 04 부분합과 급수
• 초등정수론

 

 

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• Number 12 and 24
• congruent number 문제

 

 

 

•  

 

관련논문

• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
• Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
  
  • Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002 

 

블로그

• 사각 피라미드 퍼즐(1)
  
  • Secret Math Blog, 2009-1
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8