사각 피라미드 퍼즐

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수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
\(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
답은 두 쌍이 존재.
(n,m)=(1,1) or (24,70)
Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

\(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\)

를 사용하면,

\(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.

\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 주게 되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 찾으면 된다.

정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (â3,\pm9), (â2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [Draziotis and Poulakis]

\(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다.

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 보이면 된다.
t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다.

p 가 7 이상이면 ([√2 p])² < 2p² - 1이 성립(?)

(반례 : p=29 인 경우, [√2 p]=41, 41^2=2*29^2-1=1681)

또한, [X] > X - 1 임을 이용하면
2p² -1< ([√2 p] + 1)² 이다.

따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순.

따라서 p 는 6 이하가 된다.

t 가 4 일 때, 해 (x,y) = (24, 70)를 찾을 수 있다.
x ≡ 1 (mod 6) 이면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y²

3t + 1= p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 (1,1) 을 찾을 수 있다.

따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)

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