사각 피라미드 퍼즐

간단한 소개

• 공을 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 되는가?

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• 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
  \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  
• 답은 두 쌍이 존재.
  (n,m)=(1,1) or (24,70)
  
• Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
• 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
  \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)
  

 

 

정수계수 타원곡선으로의 변형

\(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\)

를 사용하면,

\(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.

\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 주게 되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 찾으면 된다.

정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [Draziotis and Poulakis]

\(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다.

• congruent number 문제
• 위에서 찾은 정수해는 타원곡선 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 rank가 1이상임을 증명한다

 

 

부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

 

 

메모

이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 보이면 된다.
t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다.t 가 4 일 때, 해 (x,y) = (24, 70)를 찾을 수 있다.
x ≡ 1 (mod 6) 이면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y²

3t + 1= p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 (1,1) 을 찾을 수 있다.

따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 04 부분합과 급수
• 초등정수론

 

 

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• Number 12 and 24
• congruent number 문제

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

관련논문

• Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)
  
  • Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
• Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$
  
  • Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593.   
• Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
  
  • Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
• The Diophantine equation $b^2X^4-dY^2=1$
  
  • M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491
• The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II
  
  • J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
• THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.
  
  • J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281

 

 

블로그

• 사각 피라미드 퍼즐(1)
  
  • Secret Math Blog, 2009-1
• The Square Pyramid Puzzle
  
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