사각 피라미드 퍼즐

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• 사각 피라미드 퍼즐

 

 

개요

• 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?
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• 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
• • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
  • 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)
    

 

 

 

티오판투스 방정식

• 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
  \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  
• 답은 두 쌍이 존재
  \((n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)\)
  

 

 

정수계수 타원곡선으로의 변형

• \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
  \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.
  \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 에서도 정수해에 대응되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 모두 찾으면 된다.
  \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
  이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
  

• 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
• 이는 또한 6이 congruent number 임을 증명한다

 

 

부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

 

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 04 부분합과 급수
• 초등정수론

 

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• Number 12 and 24
• congruent number 문제

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

관련논문

• [DP2009]Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)
  
  • Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
• Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$
  
  • Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593.   
• Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
  
  • Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
• The Diophantine equation $b^2X^4-dY^2=1$
  
  • M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491
• The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II
  
  • J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
• THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.
  
  • J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281

 

 

블로그

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