산술기하조화평균과 부등식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 6월 25일 (목) 15:30 판
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간단한 소개

기하평균 : 직사각형의 두 변이 a, b 일 때 같은 면적을 가지는 정사각형의 한 변
 
조화평균 : 일정한 거리를 갈 때 a, 올 때 b의 속력으로 왕복할때 평균속도

 

 

일반적인 정의
  • 산술평균

\(A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\)

  • 기하평균
    \(G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}\)
  • 조화평균

\(H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \)

 

산술-기하-조화평균 부등식

\(A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)\)

 

 

n=2인 경우 부등식의 그림표현

[[Media:|]]

\(A=\frac{a+b}{2}\)

\(G=\sqrt{ab}\)

\(H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

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