산술기하조화평균과 부등식

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 16:07 판 (찾아 바꾸기 – “관련도서 및 추천도서” 문자열을 “관련도서” 문자열로)
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개요

 

 

 

두 수의 산술기하조화평균

  • 기하평균 : 직사각형의 두 변이 a, b 일 때 같은 면적을 가지는 정사각형의 한 변
  • 조화평균 : 일정한 거리를 갈 때 a, 올 때 b의 속력으로 왕복할때 평균속도

 

 

 

일반적인 정의

  • 산술평균

\(A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\)

  • 기하평균
    \(G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}\)
  • 조화평균

\(H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \)

 

산술-기하-조화평균 부등식

\(A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)\)

 

산술 - 기하 - 조화평균 부등식의 증명

먼저, 산술 - 기하 평균 부등식 부터 증명하도록 하겠다. 이 증명에서는 수학적 귀납법이 사용된다.

\(a_1 a_2 a_3 ... a_n \in R_o ^ + \)  인 \(a_1 a_2 a_3 ... a_n \) 들에 대해 아래의 식이 성립함을 보이자.

 

\(\frac{a_1 + a_2 +\hdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\hdots a_{n-1}a_n}\)

 

 

 

n=2인 경우 부등식의 그림표현

[[Media:|Media:]]

\(A=\frac{a+b}{2}\)

\(G=\sqrt{ab}\)

\(H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

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