삼각함수의 적분

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개요

사인과 코사인의 거듭제곱

사인과 코사인의 거듭제곱
\(\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\)
\(\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\)

(증명)

\(\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx\)

\(\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)

여기서 치환적분 \(u=\cos x\), \(dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx\)

\(\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)

\(\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x\)

\(\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx\) ■

이 결과들은 월리스 곱 (Wallis product formula) 에 응용할 수 있다
정적분의 결과는 오일러 베타적분(베타함수) 로 표현할 수 있다

탄젠트와 시컨트의 거듭제곱

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed

\(\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}\)

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