생성함수

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• 생성함수

 

 

개요

• 수열\(\{a_n\}\)에 대한 생성함수(generating function)는 \(f(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\) 로 주어짐
• 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
• 해석적정수론의 중요한 아이디어
• 생성함수의 수렴성에 대해서는
• (무한)수열을 함수 하나 안에 쑤셔 넣은(!) 것. 수열을 다루기가 굉장히 편해진다.

 

 

사용법

'1. 수열\(\{a_n\}\)이 주어져 있다.'
2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열이면 다항식)

3. 함수를 구한다.

 

 

분할수의 생성함수

• 분할수의 경우
  \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
  
• 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 수열 (고등학교)
• 일변수미적분학
  
  • 멱급수함수
• 이산수학
  
  • difference equation

 

 

관련된 항목들

• 분할수
• 피보나치 수열의 여러가지 성질

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

• generatingfunctionology
  
  • Herbert S. Wilf,
  • PDF 파일 다운받기 : http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

 

 

관련논문과 에세이

• An Interesting Use of Generating Functions
  
  • Aron Pinker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45

 

 

블로그

• 고교 수학의 명장면 (2)
  
  • 피타고라스의 창, 2008-9-30
• derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수
  
  • 피타고라스의 창, 2008-7-26

 

위키링크

• Generating function