서로 접하는 네 원에 대한 데카르트의 정리와 아폴로니우스 개스킷

수학노트
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간단한 소개

fourtangents.gif

\(\left( k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s} \right)^{2} = 2\, \left( k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} + k_{s}^{2} \right)\)

  • 네 개의 원이 서로 접할때, 그 곡률(반지름의 역수)가 만족시키는 관계
  • 1643년 11월 데카르트

 

 

소디의 시

The Kiss Precise by Frederick Soddy


    For pairs of lips to kiss maybe
    Involves no trigonometry.
    'Tis not so when four circles kiss
    Each one the other three.
    To bring this off the four must be
    As three in one or one in three.
    If one in three, beyond a doubt
    Each gets three kisses from without.
    If three in one, then is that one
    Thrice kissed internally.


    Four circles to the kissing come.
    The smaller are the benter.
    The bend is just the inverse of
    The distance from the center.
    Though their intrigue left Euclid dumb
    There's now no need for rule of thumb.
    Since zero bend's a dead straight line
    And concave bends have minus sign,
    The sum of the squares of all four bends
    Is half the square of their sum.


    To spy out spherical affairs
    An oscular surveyor
    Might find the task laborious,
    The sphere is much the gayer,
    And now besides the pair of pairs
    A fifth sphere in the kissing shares.
    Yet, signs and zero as before,
    For each to kiss the other four
    The square of the sum of all five bends
    Is thrice the sum of their squares.

  In _Nature_, June 20, 1936

 

 

 

아폴로니우스의 개스킷

apollgas.gif

 

The modular group, j-invariant and the singular moduli

 

 

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