서로 접하는 네 원에 대한 데카르트의 정리와 아폴로니우스 개스킷

수학노트
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데카르트의 정리

 

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  • 네 개의 원이 서로 접할때, 그 곡률(반지름의 역수) \(k_i\, (i=1,2,3,4)\) 이 만족시키는 관계
    \(\left( k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s} \right)^{2} = 2\, \left( k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} + k_{s}^{2} \right)\)
  • 1643년 11월 데카르트의 편지

 

 

포드 원의 경우

[[Media:|]]

  • C[3/5],C[5/8], C[2/3], 수직선에 대해서 데카르트의 정리를 적용해 보자
  • 각 원의 곡률은 
  • 이 네 원은 서로서로 접하므로, 데카르트의 정리가 적용됨
    \(k_1=50,k_2=128,k_3=18, k_4=0\)
    \(50+128+18+0=196\), \(196^2=38416\)
    \(50^2+128^2+18^2+0^2=19208\), \(2\times 19208 = 38416\)
  • 포드 원에 대해서는 포드 원 (Ford Circles) 항목을 참조

 

소디의 시

The Kiss Precise by Frederick Soddy


    For pairs of lips to kiss maybe 한쌍의 입술이 키스를 할땐
    Involves no trigonometry. 삼각함수가 필요하지 않을꺼야.
    'Tis not so when four circles kiss 하지만 네 원이 서로 키스를 할땐 그렇지 않지.

    Each one the other three.
    To bring this off the four must be
    As three in one or one in three.
    If one in three, beyond a doubt
    Each gets three kisses from without.
    If three in one, then is that one
    Thrice kissed internally.


    Four circles to the kissing come.
    The smaller are the benter.
    The bend is just the inverse of
    The distance from the center.
    Though their intrigue left Euclid dumb
    There's now no need for rule of thumb.
    Since zero bend's a dead straight line
    And concave bends have minus sign,
    The sum of the squares of all four bends
    Is half the square of their sum.


    To spy out spherical affairs
    An oscular surveyor
    Might find the task laborious,
    The sphere is much the gayer,
    And now besides the pair of pairs
    A fifth sphere in the kissing shares.
    Yet, signs and zero as before,
    For each to kiss the other four
    The square of the sum of all five bends
    Is thrice the sum of their squares.

  In _Nature_, June 20, 1936

 

 

 

아폴로니우스의 개스킷

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모듈라 군의 fundamental domain

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