숫자 12와 24

수학에서 숫자 12와 24는 매우 흥미로운 수.
모듈라 군(modular group)과 깊게 관련되어 있음.
- 12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
  \(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\)
  는 weight 12 cusp form
- \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
- \(\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\)
24
- 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
  \(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\)
- Leech 격자의 차원
- Sporadic group M24
- If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
- 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
  \(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)
- 분할수의 생성함수(오일러 함수)
  \(z=q\),\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)
  \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)
  \(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\)
26=24+2 는 보존 끈이론의 차원
스털링 공식
\( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)

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