슈르 다항식(Schur polynomial)

변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
다음과 같은 두 개의 d의 분할을 생각하자
- \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
다음과 같이 두 다항식을 정의하자
- \(a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})\)
- \(a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})\)
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
슈르다항식은 다음과 같이 정의된다
\(s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\)

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식
\(\left( \begin{array}{cc} \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right)\)

\(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\)

여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ

슈르 다항식은 complete homogeneous polynomial 의 다항식으로 표현할 수 있다
\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)
변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다
\(\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\)
예. \(s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\)

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