스털링 공식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 5일 (일) 01:28 판
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간단한 소개
  • 팩토리얼의 근사식

\( n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\)

  • 좀더 정확히는 다음과 같이 주어짐.
    \( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)

 

증명
  • http://pythagoras0.springnote.com/pages/2637804에서 유도된다.
    • \(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)
    • \(B_k\) 는 베르누이 수, 오차항  \(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\) 로 주어짐.
    • \(f(x) = \ln(1+x)\) 에서 유도. \(\ln(n!)= \sum_{k = 1}^{n-1}\ln(1+x)\) 이며, 오차항 \(R\) 은 0 으로 수렴한다.
       
    • 계수 \(\sqrt{2 \pi}\) 는 어떻게 얻을까?
      • 월리스 식을 이용할 수 있다.
      • Wallis product \[\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}\]

 

 

정규분포 이야기에서 잠시 벗어나 보이는 팩토리얼 얘기를 조금 한다. 위에 있는 숫자의 근원이 여기에 있기 때문이다. 스털링 공식이라고 알려져 있는 팩토리얼의 근사식은 다음과 같다.

\( n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\)

 

 

팩토리얼은 정의는 간단할지라도 n이 조금만 커지기 시작하면 계산하기가 그리 만만치 않은 녀석이다. 따라서 위의 식은 실용적인 측면에서도 매우 유용한 근사식이 된다.

 

재미있는 사실
  • 드무아브르가 스털링에 앞서서 팩토리얼의 근사식을 유도함.
  • 다만 \(\sqrt{2\pi}\)이라는 상수를 구하지 않고 적당한 상수 \(B\)에 대하여 다음과 수준의 표현을 남김.
    \( n! \approx B\sqrt{n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\)
  • 나중에 \(B=\sqrt{2\pi}\) 는 스털링이 해결하크레딧을 스털링에게 돌린 드무아브르.
  •  

 

역사는 다음과 같은 이야기를 전한다.

In Miscellanea Analytica (1730) appears Stirling’s formula (wrongly attributed to Stirling) which de Moivre used in 1733 to derive the normal curve as an approximation to the binomial. In the second edition of the book in 1738 de Moivre gives credit to Stirling for an improvement to the formula. De Moivre wrote:-

I desisted in proceeding farther till my worthy and learned friend Mr James Stirling, who had applied after me to that inquiry, [discovered that c = √(2 π)].



  • 오늘날 팩토리얼의 근사식은 (드무아브르의 이름은 온데간데 없이) 스털링의 공식이라고 불리게 됨.
  • 드무아브르는 조금 섭섭하지 않을런지?

 

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