슬레이터 8

 

 

 

 

항등식의 분류

• 슬레이터 목록 (Slater's list)
• B(3)
  

 

 

켤레 베일리 쌍의 유도

• q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
  \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\),  \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
  \(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\)
  
• 다음 특별한 경우
  \(x=q^2, y=-q, z\to\infty\).
  
• 얻어진 켤레 베일리 쌍 (슬레이터 2 와 같음)
  \(\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
  \(\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
  

 

 

 

베일리 쌍의 유도

• 다음을 이용
  \(\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}\)
  
• 다음의 특수한 경우
   ??
  
•  
  얻어진 베일리 쌍
  \(\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}\)
  \(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
  \(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}\)