쌍곡함수

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• 쌍곡함수

 

 

개요

• 삼각함수와 유사한 성질을 가짐
  
• 쌍곡선 을 매개화할 수 있음
  
• 로렌츠 변환과 로렌츠 군 에 등장
  

 

 

쌍곡함수의 정의

 

• 지수함수 를 사용하여 정의할 수 있다
  \(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)
  \(\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\)
  \(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})} {\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}\)
  \(\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}\)
  

 

 

항등식

• \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)
  
• \(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\)
  

 

 

미분

\((\sinh x)' = \frac{e^x + e^{-x}}{2}=\cosh x\)

\((\cosh x)' = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}=\sinh x\)

\((\tanh x)' = \frac{\cosh^2 x- \sinh^2 x}{\cosh^2 x}=\operatorname{sech}^{2}x\)

 

덧셈공식

• \(\cosh \left(\theta _1\right) \cosh \left(\theta _2\right)-\sinh \left(\theta _1\right) \sinh \left(\theta _2\right)=\cosh \left(\theta _1-\theta _2\right)\)