양자 조화진동자
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개요
고전 역학에서의 조화진동자
- 고전역학에서의 조화진동자(고전역학에서의 적분가능 모형 항목 참조)
- 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안
\(H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\) - 해밀턴 방정식
\(\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\)
\(\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\) - 운동방정식
\(\ddot{x}=-\omega^{2} x\) 즉 \(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)
양자조화진동자
- 위치 연산자와 운동량 연산자
\([\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\)
\(\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\) - 해밀토니안
\(\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\)
\(\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\) - 사다리 연산자(ladder operator)
\(a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\)
\(a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\) - Commutation relation
\(\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\)
\(\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\)
\(\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\)
슈뢰딩거 방정식
- 슈뢰딩거 방정식
- 위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다
\(E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}\)
\(V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2\) - energy eigenstate의 파동함수는 \(\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)\) 형태로 쓸 수 있다
- http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
- http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
- 에르미트 다항식(Hermite polynomials)
energy eigenstates
- \(\hbar=1\) 이라 가정하자
- a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
- ground state energy of the oscillator
- lowest energy state
- \(\omega/2\)
- lowest energy state
역사
메모
- “The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit
- http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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