오일러상수, 감마

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 5월 1일 (금) 15:14 판
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\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\)

 

 

 

\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\)

\(\int f(x)\,dx=\ln x\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)\)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots\)

여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산함)

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하면,

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+}\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}\)

\(0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots\)

참고로 \(\gamma=0.5772156649015\cdots\)

 

 

 

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