오일러 수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 19일 (토) 18:30 판
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간단한 소개
  • 오일러수 \(E_n\)은 다음과 같이 정의됨
    \(\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!\)
    \(\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)
    \(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)
  • 처음 몇 오일러수는 다음과 같음
    \(E_0=1\),\(E_2 = −1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = −61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = −50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = −199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = −2,404,879,675,441\)

 

재미있는 사실

\(4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi\)

 

\(\frac{\pi}{2}-2\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{1}{N}-\frac{1}{N^3}+\frac{5}{N^5}-\frac{61}{N^7}+\cdots\)

\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\cdots\)

 

\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)

\(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)

\(N=10^{l}\) 이면, \(2E_{2M} \sim 10^{2l}\) 정도 되는 \(M\)까지의 전개 정도가 자릿수를 어느정도 맞게 해줌

 

예)

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=6\)개 정도의 자릿수가 다른 근사전개가 얻어질 수 있음

 

 

\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)

 

0.123456789012345678901234567890123456789012...

3.141392653591793238362643395479500114198179...

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

 

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