오일러 수
간단한 소개
- 오일러수 \(E_n\)은 다음과 같이 정의됨
\(\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!\)
\(\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)
\(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\) - 처음 몇 오일러수는 다음과 같음
\(E_0=1\),\(E_2 = â1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = â61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = â50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = â199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = â2,404,879,675,441\)
재미있는 사실
\(4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi\)
\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots\)
좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐
\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)
여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)
따라서 \(N=10^{l}\) 이면, 소수점 \(l\)번째 정도 자리에서 자릿수가 다르게 나타나며, \(2E_{2M} \sim 10^{2l}\) 정도 되는 \(M\) 이전의 전개라면 오일러 수로 적당히 보정이 가능
다시 말해 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리의 전개라면 오일러 수로 적당히 보정이 가능
예)
\(N=10^2\) 인 경우, \(E_{10}\)가 다섯자리 수이므로, \(M=4\) 정도까지의 근사전개라면 오일러 수로 보정가능
\(4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\)
0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
3.12159465259101047851
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042 로 나타남.
예)
\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 정도까지의 근사전개, 즉 소수점 아래 44자리 정도의 전개라면 오일러 수로 보정가능
\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)
0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582
3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042 로 나타남.
역사
관련된 다른 주제들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
- http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/EulerE.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4(-1)^(k-1)/(2k-1),+k%3D1+to+5000
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Euler+numbers
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
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