왓슨 변환(Watson transform)

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왓슨 변환(Watson transform)

개요

유수정리(residue theorem) 의 응용
단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
\(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
여기서 \(\sum\) 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합

복소함수 코탄젠트의 성질

\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계이며, 특히 \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))

응용

정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자.

\(g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.

\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}\)

여기서 우변에 더해진 항은\(\{-a,-i a,i a,a\}\) 에서 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}\)유수의 합이다.

\(\{-a,-i a,i a,a\}\) 가 네 점에서, 의 유수(residue)의 합은\(\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}\)이다.

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.

\(2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{4}+a^4}=0\)

■

정수에서의 리만제타함수의 값 에 응용할 수 있다

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

왓슨 변환(Watson transform)

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개요

복소함수 코탄젠트의 성질

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