월리스 곱 (Wallis product formula)

간단한 소개

• 1655년, 영국 수학자 월리스(John Wallis)는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다.

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}\)

• 스털링이 드무아브르가 남긴 문제를 해결하고 역사에 이름을 남길 때, 스털링은 바로 이 월리스의 공식을 사용했다.

\(\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}{1\over{2n}}\cdot{{2^{4n}\,(n!)^4}\over{((2n)!)^2}}\)

• 이는 다음을 말해준다.

\(\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!}\over{n!n!}}=\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\)

 

증명

• 오일러 베타적분
  

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)

 

 

메모

• 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음
• 데카르트 1596년 3월부터 1650년 2월까지, 뉴턴이 살았던 때가 1643년 1월부터 1727년 3월까지

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 스털링 공식
• 중심극한정리
• 오일러 베타적분

 

표준적인 도서 및 추천도서

• http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
• [1]http://www22.wolframalpha.com/input/?i=wallis+product

 

블로그

• 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기
  
  • 피타고라스의 창, 2008-7-12