월리스 곱 (Wallis product formula)

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• 월리스 곱 (Wallis product formula)

 

 

개요

• 1655년, 영국 수학자 월리스(John Wallis)는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다. \[\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}\]

$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}$$

• 스털링이 드무아브르가 남긴 문제를 해결할때 이 월리스의 공식을 사용 \[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}{1\over{2n}}\cdot{{2^{4n}\,(n!)^4}\over{((2n)!)^2}}\]

• 이는 다음을 말해준다 \[\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!}\over{n!n!}}=\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\]

 

 

월리스의 증명

• 오일러 베타적분
  \(\int_0^{\pi}\sin^{p}\theta{d\theta}= B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
  

 

 

역사

• 수학사연표
• 1655 - 존 월리스가 Arithmetica Infinitorum를 저술

• 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음
• 데카르트(1596년 3월-1650년 2월)
• 뉴턴(1643년 1월-1727년 3월)

 

 

 

 

관련된 항목들

• 스털링 공식
• 중심극한정리
• 오일러 베타적분
• 삼각함수의 적분

 

 

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
• [1]http://www22.wolframalpha.com/input/?i=wallis+product

 

 

블로그

• 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기 피타고라스의 창, 2008-7-12