이계 미분방정식

수학노트
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개요

  • 선형방정식과 비선형방정식

 

 

이계미분방정식의 일계미분방정식으로의 변형

  • \(y'' = f(x, y')\) 형태의 미분방정식
    \(v=y'\) 으로 치환
    \(v' = f(x, v)\) 를 얻는다
  • \(y'' = g(y, y')\) 형태의 미분방정식
    \(v=y'\) 으로 치환
    \(y'' = \frac{dv}{dx}= \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dy}v\)
    \(\frac{dv}{dy}v = g(y,v)\) 를 얻는다

 

 

예

  • \(2y''=3y^2\)
    \(v=y'\) 으로 치환하자.
    \(2\frac{dv}{dy}v = 3y^2\) 을 얻는다
    \(v^2=y^3+C\)
    \((\frac{dy}{dx})^2=y^3+C\)

 

 

 

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