이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 4월 27일 (월) 13:17 판
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데데킨트 제타함수

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{p \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(p)^{-s}} \)

 

 

(정리) class number 공식

   \( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)

 

 

 

증명
  • \(\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
  • \(a_n\) 은 norm 이 \(n\) , ideal의 개수
  • 증명의 아이디어
    각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

 

 

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메모

(정리) class number 공식

   \( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)

 

 

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