이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 11월 11일 (수) 05:53 판
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데데킨트 제타함수

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}\)

  • \(d_K\)를 판별식이라 하면, 다음과 같이 두 L-함수의 곱으로 표현가능
    \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
     
    \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
    \(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)
  • 일반적인 데데킨트 제타함수에 대해서는 데데킨트 제타함수 참조
  • 디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 \(s=1\)에서의 \(\zeta_{K}(s)\) 의 residue 사이의 관계를 표현

 

 

복소이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
 복소 이차 수체(imaginary quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\)

\(h_K\) 는 class number, \(w_K\)는 \(O_K\) 에 있는 unit의 개수, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant)

 

 

(따름정리)

\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-q\)

\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)

\(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)

\(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)

 

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-4q\)

\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)

\(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)

\(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)

 

 

\(n \geq 2\)가 squarefree라 하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})\)  의 경우 

\(n \geq 5\) 이고 \(n \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우, \(d_K=-4n\)

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}\)

\(n \geq 7\) 이고 \(n \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우,  \(d_K=-n\)

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}\)

 

 

 

증명

\(A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}\)는 \(O_K\) 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)

여기서 \(a_n\) 은 norm 이 \(n\)인, 모든 ideal의 개수이다.

\(a_n(C)\) 는 ideal class \(C\) 에서, norm 이 \(n\)인 ideal의 개수로 정의하자.

증명의 아이디어

각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

즉, \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\) 의 크기를 알아보면 된다.

  • principal ideal class \(C\)
    • \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\)
    • \(|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}\), C는 적당한 상수
  • 다른 아이디얼 클래스 \(C'\)
    • \(A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')\)
    • \(|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}\) 임을 보일 수 있다.
  • class number의 유한성에 의하여, 적당한 상수 \(C_K\)가 존재하여
    \(|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\) 가 성립한다.

다음과 같이 L-급수를 정의하자.

\(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\)

위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다.

\(|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\)

따라서 

\(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\) 는 \(s > \frac{1}{2}\) 에서 수렴하고, \(f(1)\) 이 존재한다.

\(s > 1\) 이면, \(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)\)

\(\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}\)

 

 

실 이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)

\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit

 

 

(따름정리)

실 이차수체 \(K\), \(d_K=q\)는 판별식

\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)

\(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)

\(L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)

 

 

(따름정리)

소수 \(q\)에 대하여,  \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\)

\(q \geq 5\),   \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(2h_K\ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})\)

\(q \geq 3\),   \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

 

\(2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})\)

로 주어진다.

 

 

(증명)

\(q \geq 5\),   \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=q\)

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1)\) 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과

\(L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}\)

\(q \geq 3\),   \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=4q\)

 

소수 \(p \neq 2 , q\)에 대하여

 

\(\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)\)

 

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여

\(L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}\)

 

 (증명끝)

 

 

예

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})\), \(\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\),  \(d_K=5\), \(h_K=1\)

\(h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5}})=1\)

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})\), \(\epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\),  \(d_K=13\), \(h_K=1\)

\(h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13}})=1\)

 

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})\), \(d_K=12\), \(\epsilon_K=2+\sqrt{3}\), \(h_K=1\)

\(-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12}})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots \)

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})\) , \(d_K=28\), \(\epsilon_K=8+3\sqrt{7}\), \(h_K=1\)

\(-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28}})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots\)

 

 

 

가우스합과 class number
  • 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 의 class number는 다음과 같다

\(h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}\)

 

 

순환소수 전개를 통한 class number의 계산
  • 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이  군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
  • 예 p=7, p=23
  • 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 class number 를 계산할 수 있다
    \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\)
    \(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)
  • 7의 경우
    \(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
    \(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\)
    정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이  \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number는 1이다.
  • 23의 경우
     
    \(\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}\)
    \(\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3\)
    정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)의 class number는 3이다.

 

(증명)

\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\)

여기서 \({g_k}\)는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시킨다

10이  \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로 

\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\)

한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,

\(y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\) (\(k=1,\cdots, p-1\)) 이다. 

예를 들자면, 

\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\) 의 경우 


\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)

\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)

 

다시 증명으로 돌아가자

\(11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\)

따라서 

\(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)

  • [Girstmair94] 참조
  • 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수

 

 

일반화된 class number 공식

(정리) class number 공식

   \( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)

 

 

 

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