이차형식 x^2+27y^2

수학노트
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개요

  • \(\mathcal{O}=\mathbb{Z}(\sqrt{-27})\subset K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
  • ring class field \(K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})\)




소수가 \(x^2+27y^2\) 꼴로 쓰여질 필요충분조건

  • \(p>3\) 이 소수라 하자. 다음 조건은 동치이다
    • \(p=x^2+27y^2\)
    • \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, \(x^3-2\equiv0\pmod p\) 가 해를 갖는다
    • \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, 2가 \(\mod p\)로 cubic residue 이다

\(x^3\equiv 2\pmod p\) 의 해의 개수

  • 3 \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 있는 경우
  • 2 불가능
  • 1 \(p \not\equiv1 \pmod 3\) 인 경우
  • 0 \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 없는 경우



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