점화식, 미분방정식, 선형대수학

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

점화식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

\(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

수열 \(\alpha^{n-1}\)와 \(\beta^{n-1}\)는 점화식의 해가 된다.

\(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.

중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.

\(p+q+r =0\) 일 때
- 잘 정리하면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)\) 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 \(b_n = a_{n+1} - a_{n}\) 에 대한 등차수열이라고 생각하고, \(b_n\) 을 구한다.
- 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
\(p+q+r \ne 0 \) 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
- 결론부터 말하자면,
  - \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 하면, \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
  - 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.
- \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대하여, \(p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r\) 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로
  \(a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0\) 라고 쓸 수 있다.
  이제 \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)\) 으로 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\beta a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
  \(a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)\) 로도 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\alpha a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
  연립해서 \(a_{n+1}\) 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.
  이 점화식을 \(p+q+r=0\) 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
- ex) 피보나치 수열 \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) 의 일반항을 구하시오. (\(a_1 = a_ 2 = 1\))

벡터공간

내적

Hermitian operator

\((f'',g)=(f,g'')\)

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