정다면체

간단한 소개

• 볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형
• 다섯개만이 존재
  
  • 정사면체
  • 정육면체
  • 정팔면체
  • 정십이면체
  • 정이십면체

 

 

 

 

오일러의 정리를 사용하는 증명

• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2 를 사용

(증명)

정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자.

꼭지점의 개수는

\(V = \frac{pF}{q}\)

변의 개수는

\(E = \frac{pF}{2}\)

여기서

\(n = qV = pF = 2E\) 로 두자.

오일러의 정리로부터,

\(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\)

\(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\)

\(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\)

양변을 \(2pqn\) 으로 나누면,

\(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\)

부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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재미있는 사실

• 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
  
  • http://images.google.com/images?q=dali+last+supper

 

 

 

 

많이 나오는 질문

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관련된 다른 주제들

• 축구공의 수학
• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2
• 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
• 황금비

 

 

 

참고할만한 자료

• Art and Mathematics: The Platonic Solids
  
  • Michele Emmer
  • Leonardo, Vol. 15, No. 4 (Autumn, 1982), pp. 277-282
• http://ko.wikipedia.org/wiki/정다면체
• http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solids
• 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=정다면체

 

 

관련기사

 

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