정다면체

간단한 소개

볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형

다섯개만이 존재
- 정사면체
- 정육면체
- 정팔면체
- 정십이면체
- 정이십면체

분류에 대한 기하학적 증명

오일러의 정리를 사용하는 증명

다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2 를 사용

(증명)

정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자.

꼭지점의 개수는

\(V = \frac{pF}{q}\)

변의 개수는

\(E = \frac{pF}{2}\)

여기서

\(n = qV = pF = 2E\) 로 두자.

오일러의 정리로부터,

\(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\)

\(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\)

\(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\)

양변을 \(2pqn\) 으로 나누면,

\(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\)

부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.

플라톤과 정다면체

플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.
정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.

케플러와 정다면체

케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.
먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.

하위주제들

이미지 검색

동영상

http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=

정다면체

목차

간단한 소개

분류에 대한 기하학적 증명

오일러의 정리를 사용하는 증명

플라톤과 정다면체

케플러와 정다면체

하위주제들

하위페이지

재미있는 사실

관련된 단원

많이 나오는 질문

관련된 고교수학 또는 대학수학

관련된 다른 주제들

관련도서 및 추천도서

참고할만한 자료

관련기사

이미지 검색

동영상

둘러보기 메뉴

검색