정다면체
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형
볼록한 정다면체는 다음과 같이 다섯가지가 존재한다.
차례대로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체
볼록한 정다면체는 다음과 같이 다섯가지가 존재한다.
차례대로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체
| Tetrahedron.svg | Hexahedron.svg | Octahedron.svg | POV-Ray-Dodecahedron.svg | Icosahedron.svg |
오목한 정다면체는 다음과 같이 네가지가 존재한다.
차례대로 작은 별모양 정십이면체, 큰 별모양 정십이면체, 큰 정이십면체, 큰 정십이면체
| SmallStellatedDodecahedron.jpg | GreatStellatedDodecahedron.jpg | GreatDodecahedron.jpg | GreatIcosahedron.jpg |
- 다섯개의 볼록 정다면체
- 정사면체
- 정육면체
- 정팔면체
- 정십이면체
- 정이십면체
| 다면체 | 그림 | 점 V | 선 E | 면 F | V-E+F | 한점에서의 외각 A | 외각의 총합 V × A |
| 정사면체 | Tetrahedron | 4 | 6 | 4 | 4-6+4=2 | \(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\) | \(4\times\pi=4\pi\) |
| 정육면체 | Hexahedron (cube) | 8 | 12 | 6 | 8-12+6=2 | \(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) | \(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\) |
| 정팔면체 | Octahedron | 6 | 12 | 8 | 6-12+8=2 | \(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) | \(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\) |
| 정십이면체 | Dodecahedron | 20 | 30 | 12 | 20-30+12=2 | \(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) | \(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\) |
| 정이십면체 | Icosahedron | 12 | 30 | 20 | 12-30+20=2 | \(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) | \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\) |
- 네개의 오목 정다면체
- 작은 별모양 정십이면체
- 큰 별모양 정십이면체
- 큰 정십이면체
- 큰 정이십면체
| 다면체 | 그림 | 점 V | 선 E | 면 F |
| 작은 별모양 정십이면체 | 30 | 12 | 12 | |
| 큰 별모양 정십이면체 | 30 | 20 | 12 | |
| 큰 정십이면체 | 30 | 12 | 12 | |
| 큰 정이십면체 | 30 | 12 | 20 |
정다면체의 분류== (증명) 정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자. 꼭지점의 개수는 \(V = \frac{pF}{q}\) 변의 개수는 \(E = \frac{pF}{2}\) 여기서 \(n = qV = pF = 2E\) 로 두자. 오일러의 정리로부터, \(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\) \(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\) \(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\) 양변을 \(2pqn\) 으로 나누면, \(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\) \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\) 부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.■
군론을 통한 증명==
플라톤과 정다면체==
플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.
정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.
케플러와 정다면체==
케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.
먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.
재미있는 사실==
- 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
- 파치올리
- 뒤러의 melancholia
메모==
- http://virus.chem.ucla.edu/icosahedral_symmetry
- Roya Zandi et al., “Origin of icosahedral symmetry in viruses,” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 101, no. 44 (November 2, 2004): 15556 -15560.
- 카탈란 다면체
- 아르키메데스 다면체
- 마름모 이십면체 달력 http://www.ii.uib.no/~arntzen/kalender/
관련된 항목들==
관련도서 및 추천도서==
수학용어번역==
관련논문==
- Art and Mathematics: The Platonic Solids
- Michele Emmer, Leonardo, Vol. 15, No. 4 (Autumn, 1982), pp. 277-282
- http://ko.wikipedia.org/wiki/정다면체
- http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solids
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=정다면체
- Michele Emmer, Leonardo, Vol. 15, No. 4 (Autumn, 1982), pp. 277-282
관련기사==
- [영재교육원 수학특강(24) 축구공의 비밀(4)]
- 경향신문, 2007-6-19
- [생활 속 과학 빨대로 정다면체 만들기]
- 매일경제, 2005-06-15
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- 경향신문, 2007-6-19
- 매일경제, 2005-06-15