정이십면체와 모듈라 연분수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 24일 (화) 10:19 판
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개요

 

 

icosahedral group 의 불변량
  • 평사 투영(stereographic projection)
  • vertex points
    • \(F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
  • face points
    • \(F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
  • edge points
    • \(F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)

 

syzygy relation
  • \(1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0\)

 

 

singular moduli
  • \(z^2+11z-1=0\)
  • edge points
    \(r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})\)는 edge points 즉 \(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)의 해이다. 
    \(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\)
  • face points
    \(r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})\)  는 face points 즉 \(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)의 해이다. 
    \(r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}\)
  • vertex points
    \(5\not | d\) 일 때, \(r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})\) 는 vertex points 즉 \(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)의 해이다. 
  • 위에서 \(z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}\) 로 이해한다 

 

 

complex reflection group
  • No. 16
  • \(G_{600}\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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