조화평균

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 5월 12일 (화) 18:17 판
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조화평균의 정의
  • 양수인 a,b의 조화평균은 다음과 같이 정의됨.
    \(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
  • 더 일반적으로 n 개의 양수 \(x_1,\cdots,x_n\) 의 조화평균은 다음과 같음.

\(H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n 1/x_i}\)

 

 

산술-기하-조화 평균 부등식

\(A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\)
\(G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}\)

\(H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \)

 

\(A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)\)

 

[[Media:|]]

 

생활속의 조화평균

기사님이랑 이런저런 얘기를 하던 중, 기사님께서
"이상하게도 시속 90km와 시속 110km를 오가며 달려도 시속 100km로 달린 것보다 못하더라니까. 시속 90km로 달린 걸 보충하려면 시속 120km 정도로는 달려야 돼."

 

 

문제

학교를 자전거로 왕복하는데 갈 때는 4km/h 속도로 가고 올 때는 6km/h 속도로 왔다. 평균 속도는 얼마인가?

  • 답 5km/h 아님
  • 조화평균을 사용 4.8km/h

 

 

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