초기하급수(Hypergeometric series)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 1일 (수) 16:53 판
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초기하급수
  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함. 즉,
    \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우

 

간단한 예

\(1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots\)

\(\beta_n = \frac{1}{n!}\)

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)

 

 

계수의 비가 유리함수이므로, 인수분해에서 다음과 같이 주어지는 경우,\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)

where c and d are the leading coefficients of A and B

급수는 다음과 같이 주어진다.

\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)

변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)

\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\) this can be written \[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\]

 

 

가우스의 초기하함수

\(\,_2F_1(a,b;c;z)\)

\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)

 

 

 

 

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