타니야마-시무라 추측(정리)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 12일 (토) 17:13 판
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개요

 

 

 

예

\(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)

\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) \[a_p=p+1-M_p\]

\(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n\)

  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄
    2    -1    -2
    3    -1    -1
    5    1    1
    7    -2    -2
    11    1    1
    13    4    4
    17    -2    -2
    19    0    0
    23    -1    -1
    29    0    0
    31    7    7
    37    3    3
    41    -8    -8
    43    -6    -6
    47    8    8
    53    -6    -6
    59    5    5
    61    12    12
    67    -7    -7
    71    -3    -3


 

 

 

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관련논문

(*table of primes*)
Pr := Table[Prime[n], {n, 1, 20}]
(*elliptic curve*)
g[x_] := x^3 - 4 x^2 + 16
(*factorization of the discriminant & bad primes*)
FactorInteger[Discriminant[g[x], x]]
(*number of solution y^2=g[x] modulo p, Hasse-Weil esimate*)
M[p_] := \!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 0\), \(p - 1\)]\((1 +<br>     JacobiSymbol[Mod[g[i], p], p])\)\)
(*error term of Hasse-Weil esimates*)
A[p_] := p - M[p]
(*modular form*)
f[q_] := Series[q*\!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(n = 1\), \(\[Infinity]\)]\((<br> \*SuperscriptBox[\((1 - q^n)\), \(2\)]*
\*SuperscriptBox[\((1 - q^\((11  n)\))\), \(2\)])\)\), {q, 0, 1000}]
(*the coefficients of modular form f[q]*)
n[p_] := SeriesCoefficient[f[q], p]
Table[{p, A[p], n[p]}, {p, Pr}] // TableForm

  • Number Theory as Gadfly
    • B. Mazur, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610

 

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