타원

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 10일 (일) 11:49 판
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개요
  • 두 초점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 집합. 여기서 <일정한 점> 을 초점이라고 부른다. 타원의 초점은 두 개이다.
  • 표준형 타원의 방정식
    • \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
    • \(a=b\) 이면 원이다. \(a>b\) 이면 가로( 축)로 납작한 타원, \(a<b\) 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
    • 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.
  • 평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.

 

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타원 \(\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2+\left(-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3} y}{2}\right)^2=1\)

 

 

타원 둘레의 길이

 

 

타원내부의 면적
  • 다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 \(\pi a b\) 이다
    \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\)

 

(증명)

\(\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} dxdy\)

\(X=ax\), \(Y=by\) 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다.

\(ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1} dXdY\)

따라서 면적은 \(\pi a b\).■

 

 

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들
  • 다항식
    • 일차식과 이차식
  • 원의 방정식

 

 

중요한 개념 및 정리
  • 초점
  • 이심률
    • \(e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)

 

 

재미있는 문제
  • 장축의 길이가 , 단축의 길이가 인 타원 (예를 들면 , )에 외접하는 사각형의 최소 넓이는
  • 빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
  • 매개변수표현 : ,
  • 타원 과 포물선 가 직교하기 위해서는 를 만족하면 된다.
    • [/pages/1999042/attachments/958566 2.gif]

 

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

 

관련있는 다른 과목
  • 물리
    • 행성운동
    • 지구는 태양의 주위를, 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도로 돌고 있음.
  • 미술
    • 원근법
    • 원을 바르게 그리려면, 타원으로 그려야 함.

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관련된 대학교 수학

 

 

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동영상 강좌
  • 타원 그리는 방법