타원

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• 타원

 

 

개요

• 원뿔의 단면에서 얻어지는 원뿔곡선의 하나
• 이차곡선의 하나이다
• 타원위의 점들은 어떤 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정하다

 

 

타원의 방정식

• 타원은 이차곡선 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 판별식이 \(\Delta=b^2-4ac<0\)인 경우
• 타원의 방정식의 표준형
  
  • \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
    
  • \(a=b\) 이면 원이다. \(a>b\) 이면 가로( 축)로 납작한 타원, \(a<b\) 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
  • 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.

• 평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.

 

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 \(\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2+\left(-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3} y}{2}\right)^2=1\)

 

 

타원 둘레의 길이

• 타원 둘레의 길이 항목 참조

 

 

타원내부의 면적

• 다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 \(\pi a b\) 이다
  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\)
  

 

(증명)

\(\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} dxdy\)

\(X=ax\), \(Y=by\) 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다.

\(ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1} dXdY\)

따라서 면적은 \(\pi a b\).■

 

 

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• 다항식
  
  • 일차식과 이차식
• 원의 방정식

 

 

중요한 개념 및 정리

• 초점
• 이심률 (eccentricity)
  
  • 타원이 원에서 멀어지는 것을 재는 양
  • \(e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)

 

 

재미있는 문제

• 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 에 외접하는 사각형의 최소 넓이는
• 빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
• 매개변수표현 : ,
• 타원 과 포물선 가 직교하기 위해서는 를 만족하면 된다.
  
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관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 타원과 인간
• 행성운동과 타원

 

 

관련있는 다른 과목

• 물리
  
  • 행성운동
  • 지구는 태양의 주위를, 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도로 돌고 있음.
• 미술
  
  • 원근법
  • 원을 바르게 그리려면, 타원으로 그려야 함.

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관련된 대학교 수학

• 타원곡선
• 타원적분, 타원함수, 타원곡선

 

 

블로그

• 미적분과 인문계(3) : 타원 - 자연, 예술, 인간 (피타고라스의 창)
  

 

동영상 강좌

• 타원 그리는 방법