파이 π는 무리수이다
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개요
관찰1
\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)
\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
관찰2
- 르장드르 다항식
\(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\)
(정리)
일반적인 함수 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다.
\(\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx\)
(증명)
부분적분 ■
π는 무리수임의 증명
π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.
\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx \) 의 형태에 의하여,
재미있는 사실
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- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- A simple proof that $\pi$ is irrational
- Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
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