파이 π는 무리수이다
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개요
- 파이가 무리수임의 증명
- [Huylebrouck2001]참조
관찰
\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)
\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
보조정리 1
다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n+1}\) 이 존재한다.
\(\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_{n+1}\pi^{n+1}+a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\)
정의
르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\) 을 정의하자.
보조정리 2
\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).
(증명)
부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■
보조정리 3
다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n+1}\) 이 존재한다.
\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_{n+1}\pi^{n+1}+a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\)
(증명)
\(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, 보조정리 1 에 의하여 증명된다. ■
귀류법을 통한 증명의 마무리
이제 π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.
보조정리 3을 이용하면
\(I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_{n+1}\pi^{n+1}+a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{a_{n+1}a^{n+1}+a_nba^{n}+\cdots+a_0b^{n+1}}{a^{n+1}}\)
는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수이다.
보조정리 2에 의하여,
\(0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\)
우변에 대하여 다음이 성립한다.
\(n \to \infty\) 일 때, \(a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \leq a^{n+1}\frac{1}{n!}(\frac{1}{4})^n\pi^n|\to 0\)
따라서
\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■
재미있는 사실
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- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- [Huylebrouck2001]Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi
- M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
- A simple proof that $\pi$ is irrational
- Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
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