표본평균과 표본분산

==개요

==유한모집단, 비복원추출의 경우

크기가 N인 유한모집단의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 이라고 가정하자.

여론조사는, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다.

크기가 n인 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 \(\bar{y}\)과 표본분산 \(s^2\)을 다음과 같이 얻는다.

\(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}\)

\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\)

\(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현할 수 있다.

확률변수 \(\bar{y}\)의 경우

\(E(\bar{y})=\mu\), \(V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\)

확률변수 \(s^2\)의 경우

\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\)

모평균과 모분산의 추정

평균이 \(\mu\)인 모집단에서 n 개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 추출할 때 표본평균 \(\bar{y}\)는 \(\mu\)의 불편추정량이다. 즉
\(E(\bar{y})=\mu\) 이 성립한다.
평균이 \(\mu\), 분산 \(\sigma^2\) 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\)을 추출할 때 표본분산 \(s^2\)은 \(\frac{N}{N-1}\sigma^2\)의 불편추정량이다. 즉
\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\) 이 성립한다.
모평균 \(\mu\)은 표본평균 \(\bar{y}\) 로 추정할 수 있다
표본평균의 분산 \(V(\bar{y})\)은 표본분산 \(s^2\)를 이용하여 \(\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})\) 로 추정할 수 있다

==예

==표본평균

==표본분산

n-1로 나누기 vs n으로 나누기
n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
편향분산

==역사

==메모

==관련된 항목들

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- population 모집단
- sampling without replacement 비복원표집, 비복원추출

==사전 형태의 자료

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

==관련논문

==관련도서

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